Kaidah pencacahan atau dalam bahasa inggris disebut sebagai Counting Rules merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan PencacahanAturan Pengisian TempatAturan PerkalianAturan PenjumlahanNotasi FaktorialPermutasiMacam dan Formula atau Rumus PermutasiKombinasiBinom NewtonPeluang Suatu Kejadian1. Frekuensi Harapan2. Kejadian MajemukPenjumlahan Peluang1. Kejadian Saling Lepas2. Kejadian Tidak Saling Lepas 3. Kejadian BersyaratContoh Soal dan Pembahasan Kaidah PencacahanKaidah pencacahan merupakan sebuah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Disebut sebagai pencacahan sebab hasilnya berwujud suatu bilangan beberapa metode pada kaidah pencacahan antara lain yaitu metode aturan pengisian tempat Filling Slots, metode permutasi serta metode kombinasi. Berikut penjelasannya lebih Pengisian TempatSebagai contoh ada suatu kasus di bawah iniGilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang!PenyelesaianAda 3 cara untuk menentukan berbagai kemungkinan Gilang menggunakan kaos dan celana Himpunan pasangan terurut{Putih, Hitam, Putih, Cokelat, Merah, Hitam, Merah, Cokelat, Biru, Hitam, Biru, Cokelat}Dari ketiga metode atau cara di atas, bisa kita simpulkan bahwa banyaknya cara Gilang memakai kaos dan juga celana panjang ada sebanyak 6 cara = 3 × 2 = banyak cara menggunakan kaos × banyak cara menggunakan celana PerkalianApabila sebuah kejadian bisa berlangsung dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 bisa berlangsung dalam q1 cara, tahap 2 bisa berlangsung dalam q2 cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n bisa berlangunsg dalam qncara maka kejadian tersebut bisa terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3 × … × qn dengan cara contohBerapa banyaknya cara atau metode untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dari total 8 orang siswa?PenyelesaianMisal ada 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara yang kita visualkan seperti di bawah ini Ketua Sekretaris BendaharaDari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi 1 orang telah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak untuk dipilih menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi 1 orang telah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi seperti tabel di bawah ini Ketua Sekretaris BendaharaBanyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336Aturan PenjumlahanSebagai contoh ada sebuah kejadian yang bisa terjadi dalam n cara yang berlainan saling asing di mana dalam cara pertama ada p1 kemungkinan hasil yang cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yang demikian selanjutnya hingga cara yang ke – n ada pn kemungkinan hasil yang berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dengan cara contohPutra seorang pelajar SMK swasta di Purwokerto. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara laing sepeda sepeda mini, sepeda gunung, sepeda motor yamaha, honda, suzuki serta mobil sedan, kijang, pick-up.Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah?PenyelesaianAlat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan. Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 FaktorialContohnya n ∈ himpunan bilangan asli. Notasi n! dibaca n faktorial diartikan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan asli secara berurutan dari n sampai kita tulisn! = n × n – 1 × n – 2 × … × 3 × 2 × sebagai 1! = 1 dan 0! = contoh1. Tentukan nilai dari 5!.Jawab5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = Tentukan nilai dari 2! + 3!.Jawab2! + 3! = 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 2 × 6 = 12PermutasiMateri pertama yang akan kita bahas pada artikel ini adalah permutasi. Permutasi mempelajari mengenai menyusun k objek dari n objek dengan cara memperhatikan tiga contoh permutasi yang sering timbul antara lain permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut dan Formula atau Rumus Permutasi1. Permutasi dari n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas n elemenApabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan Pn,n = n! atau nPn = n!Sebagai contohUntuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?JawabDari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni5! = = 120 Permutasi n elemen, masing-masing permutasi terdiri atas r unsur dari n elemen dengan r ≤ nUntuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalahCatatan Syarat urutan harus contohBanyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan juga bendahara dari 8 siswa yang tersedia yaitu…JawabBanyak siswa, n = 8Ketua, sekretaris serta bendahara banyak pilihan objek, r = 3Sehingga3. Permutasi dari n unsur yang mengandung dan r unsur yang samaKeterangann = menunjukan banyaknya elemen seluruhnyak1 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang samak2 = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama…kt = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang samat = 1,2,3,…Sebagai cottohBanyaknya cara penyusunan untuk kata ”BASSABASSI” yaitu…JawabDari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf adalah n = 10k1 = huruf B = 2k2 = huruf A = 3k3 = huruf S = 4k4 = huruf I = 14. Permutasi SiklisPermutasi siklis merupakan suatu permutasi melingkar urutan melingkar.Atau sebuah cara atau metode guna menentukan susunan unsur yang disusun secara siklis atau melingkar dengan cara memperhatikan urutannya. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur berbeda yaitunPsiklis = n-1!Sebagai contohDari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu…JawabBanyak orang n = 5, sehingga5Psiklis = 5 – 1! = 4! = = 24 Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsurPn = nkContohBanyak susunan dari 3 bilangan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yaitu…JawabBanyaknya susunan 3 bilangan, yang artinya bilangan ratusan, k = 3Banyak angka yang akan disusun adalah n = 6Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, serta 6, sehinggaP6 = 63 = 216 merupakan suatu pengelompokan dari sebagaian atau seluruh elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Cara untuk menentukan banyaknya kombinasi yaitu dengan menggunakan rumus di bawah iniSebagai contohKombinasi dari 2 elemen dari 3 huruf a,b,c yaitu ab, ac, bc . Sementara ba, ca, cb tidak termasuk ke dalam hitungan sebab dalam kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasi yaitu …Binom NewtonBinom Newton berkaitan dengan bentuk dari a + b2 a. Di mana suku ke-r dari bentuk tersebut yaituSuku ke – r = nCr-1 × an-r+1 × br-1Sebagai ilustrasikoefisien dari x27 dari x2 +2x15 adalahnCr-1xan-r+1xbr-1 = 15 Cr-1xx215-r+1x2xr-1=15 Cr-1xx30-2r+2x2xr-1Supaya x berpangkat 27 maka dibikin27 = 30 – 2r – 2 + r – 1 → r = 4Sehinggasuku ke – 4 = 15Cr-1xx30-2r+2x2xr-1 = 15C3xx30-8+2x2x 3640Peluang Suatu KejadianNilai-nilai peluang yang didapatkan berkisar antara 0 hingga dengan 1. Untuk masing-masing kejadian A, batas-batas dari nilai PA secara matematis dapat kita tuliskan seperti berikut ini0 ≤ P A ≤ 1 dengan PA merupakan peluang suatu kejadian AApabila PA = 0, maka kejadian A merupakan kejadian yang mustahil, maka peluangnya tak lain adalah 0Sebagai contohMatahari yang terbit di sebelah selatan merupakan suatu kejadian yang mustahil, sehingga peluangnya tak lain adalah = 0Apabila PA = 1, maka kejadian A merupakan kejadian pastiSebagai contohMakhluk yang bernyawa pasti nanti akan mati hal itu adalah suatu kejadian pasti, sehingga peluangnya adalah = 1Terdapat juga peluang kejadian yang bernilai antara 0 dan 1, yang artinya kejadian tersebut mungkin contoh peluang seorang murid untuk menjadi juara kelas. Apabila L adalah kejadian komplemen dari kejadian A maka peluang dari kejadian L merpakan 1- peluang kejadian matematis dapat ditulis sebagaiP L = 1 – PA atau bisa juga PL + PA = 1Sebagai contohApabila peluang turun hujan pada hari ini adalah = 0,6 maka peluang untuk tidak turun hujan pada hari ini adalah = 1 – P hujan = 1 – 0,6 = 0,41. Frekuensi HarapanFrekuensi harapan dalah sebuah kejadian merupakan suatu harapan banyaknya muncul pada sebuah kejadian dari sejumlah percobaan yang matematis dapat dituliskan seperti di bawah iniFrekuensi harapan = PA x banyak percobaanSebagai contohDalam percobaan pengetosan sebuah dadu yang dilakukan sebanyak 60 kali, maka Peluang muncul mata 2 adalah = 1/6Frekuensi harapan muncul mata 2 adalah = P mata 2 x banyak percoban = 1/6 x 60 = 10 kali2. Kejadian MajemukKejadian majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga akan membentuk sebuah kejadian yang kejadian K serta kejadian komplemen berupa K’ memenuhi persamaanPK + PK’ = 1 atau PK’ = 1 – PKPenjumlahan Peluang1. Kejadian Saling LepasTerdapat buah kejadian A dan B bisa disebut sebagai kejadian saling lepas jika tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang berlangsung pada kejadian peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumus untuk kejadian saling lepas yaituPA u B = PA + PB2. Kejadian Tidak Saling LepasMaksutdnya yaitu elemen A yang sama dengan elemen B, rumus matematikanya bisa kita tuliskan seperti di bawah iniPA u B = PA + PB – PA n B 3. Kejadian BersyaratKejadian bersyarat bisa berlangsung jika kejadian A bisa mempengaruhi munculnya kejadian B maupun sebaliknya. Maka dari itu rumusnya bisa kita tuliskan seperti di bawah iniPA n B = PA x PB/AatauPA n B = PB x PA/BSebab kejadiannya itu saling berpengaruh, maka juga bisa menggunakan rumusPA n B = PA x PBContoh Soal dan Pembahasan Kaidah PencacahanSetelah memahami materi mengenai kaidah pencacahan, kini saatnya kita belajar menyelesaikannya dalam beberapa akan kami berikan contoh soal sekaligus pembahasan mengenai kaidah pencacahan, mulai dari peluang, hingga permutasi dan yang 3 orang anak yang akan duduk bersama di satu bangku yang memanjang. Ada berapakah cara mereka untuk duduk bersama pada bangku tersebut?JawabKetiga anak akan duduk bersama, maka kita akan menggunakan rumus permutasi P3,3P3,3 = 3 = 2x2x1 = 6Sehingga ketiga anak tersebut dapat duduk bersama dengan menggunakan 6 berapakan cara untuk menyusun dua huruf dari satu kata “HIDUP”?JawabCara untuk menyusun 2 huruf dari 5 huruf, maka kita juga akan memakai rumus permutasi P5,2P5,2 = 5!/5-2 =5x4x3!/3! = 5×4 =20Sehingga cara menyusun dua huruf dari satu kata HIDUP ada sebanyak 20 huruf dipilih secara abstrak dari huruf-huruf pada tulisan ” JURAGAN”. Maka tentukanlah peluang terpilihnya huruf A!JawabBanyak kejadian yang dimaksud adalah = 2 sebab huruf A terdapat 2 di dalam kata “JURAGAN”Banyak kejadian yang mungkin adalah = 7 sebab jumlah huruf ada 7Sehingga P huruf A adalah = 2/7Soal sebuah kotak yang berisi 5 bola merah serta 4 bola hijau di dalamnya. Jika dua buah bola diambil satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil merupakan bola merah pada pengambilan pertama serta bola hijau pada pengambilan kedua!JawabPada pengambilan bola pertama tersedia sebanyak 5 bola yang berwarna merah dari 9 bola yang PM = 5/9Pada pengambilan kedua terdapat 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa dengan syarat bola merah sudah terambil.Sehingga PH/M = 4/8Sebab kejadiannya saling berpengaruh, maka memakai rumusPM n H = PM x PH/MPM n H = 5/9 x 4/8 = 5/18Soal percobaan melemper dua buah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada dadu pertama serta angka ganjil prima pada dadu kedua!JawabMisal A = kejadian munculnya mata dadu genap di dadu pertama = {2,4,6} sehingga PA = 3/6Misal B = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima di dadu kedua = {3,5} maka PB = 2/6Sebab kejadian A tidak akan berpengaruh pada kejadian B maka memakai rumusPA n B = PA x PBPA n B = 3/6 x 2/6 = 1/6Demikianlah ulasan singkat mengenai Kaidah Pencacahan yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Kaidah Pencacahan dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.